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卢赫:“什么叫自动机?“

艾达否:“自动机就是对信号序列进行判定的数学模型。我嘴里的自动机特质有限状态机,当这个机处于某种状态时,它会读到相应的信号,根据转移函数跳到下一个状态,可以视作一台没有内存结构的计算机。

比如你现在饿了,那你就要去食堂,把晶莹饱满、粘糯有较劲、香到不可思议的新米饭一勺一勺填进嘴里,直到胃被塞满。饥饿感是信号,饿了要吃饭是状态,去食堂是转移函数,饱是执行完转移函数之后的新状态。

你每时每刻都在处理各种各样的状态,直到停机,或者说死掉。”

卢赫:“那什么叫图灵完备?”

艾达否:“能模拟图灵机的自动机称作图灵完备。”

卢赫:“什么叫图灵机?”

艾达否:“一个可以执行任何算法的简单模型。它有一个无限长的纸带,纸带被分成一个个相邻的格子,每个格子都可以写上至多一个字符;它还有一个读写头,可以读取、擦除、写入当前格子的内容,也可以每次向左或向右移动一个格子;它有一个字符表,包含纸带上可能出现的所有字符;

它还要有一个状态寄存器,追踪每一步计算过程机器所处的状态直到停机;它还可以包含一个指令集,用来指定读写头的行为,比如你告诉读写头:当你身处编号53的格子并看到其内容为0时,擦除,改写为1,并向右移一格。此外,令下一状态为运行。

举个栗子,如果它的字符集只包含0、1和空白,那么它就是一个包含3个信号的图灵机。如果它的纸带上写了个110,那么你可以让它执行一系列的指令执行位反转算法,把110改写成001。比如:指针遇0写入1纸带右移,遇1写入0纸带右移。

那你要问了,如果指针遇到空字符呢?

你没有告诉它遇到空字符怎么做,所以它只会不断读取空字符,但不操作。这个时候你可以给它加一个状态指令:遇到空字符就停机,它就可以完美执行你的位反算法。它现在可以被视为一个包含3个信号和1个状态的有限状态机。

如果你吃饱了撑着没事干,想要把它设计得复杂一些,比如想让它一做完位反转运算就复原,把110变成001后再复原成110。那么你给它两个状态:当读写头在向右移动的过程中读到空字符时,改为向左移动;当读写头在向左移动的过程中遇到空字符时,停机。这是一个包含3个信号和2个状态的有限状态机.。

只要你给它添加足够多的状态,并把这个假想模型物理实现,就能够让它执行一切复杂算法,只要这个算法是可计算的。”

卢赫:“你在这里做了限定,只能执行可计算的算法。”

艾达否:“没错,它只能解决可计算的问题。你可以给它一个正整数 n,让它判断n是否是质数,但不能问它今天中午食堂会有什么饭。你可以给它一个逻辑蕴含的命题,要求它求出逆否命题,但不能包含悖论,比如理发师给并且只给那些不给自己理发的人理发,那他给不给自己理发?”

卢赫:“这么简单的结构,对于复杂算法它是如何算的呢?”

艾达否:“它算起来也很简单。三种基本函数:零函数、后继函数、投影函数,外加三种基本操作:函数组合、原始函数递归以及极小化,就能够解决一切可计算问题[1]。”

卢赫:“……我换个我能听懂的问题吧,怎样判断一个语言是图灵完备的?”

艾达否:“如果一个语言能够实现上述的三种基本函数和基本操作,并且能够据此实现偏递归函数,那么它就是图灵完备的。”

卢赫:“为什么这么说?”

艾达否:“因为只有能实现偏递归,才能够实

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