第1章 上一章注释[001] (第3/3页)
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μ^1proj21(1),其中1是固定参数。
如果我们穷举一下可变参数,就会发现:
proj21(1,0)=1
proj21(1,1)=1
我们永远也拿不到0,也就不存在最小化。也就是说,对于μ^1proj21而言,并不是每一个输入都对应一个输出,所以应用最小化操作,我们成功地构建了一个偏函数。
加减乘三种操作都在上文构建过了,现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。
假设,我们收到两参数a和b,想求a\/b,那么其中存在如下关系:
a=qxb+r,其中0≤r<b
我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q,这等同于满足(q+1)xb>a,于是带余除法被转化为了一个最小化问题:
找到最小的q使其满足(q+1)xb>a
也就是构造一个函数f:N^3—N
f(a,b,q)=1如果(q+1)b≤a,=0如果(q+1)b>a
f(a,b,q)=lessthanequal(mult(succ(q),b),a)
f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33],proj32],proj31]
其中lessthanequal=iszero·sub
iszero=sub·[succ·zero,proj11]
sub是减法器
对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。
验证一下:
f(8,5,0)=lessthanequal(mult(1,5),8)=1不等于0,所以0不是输出。
f(8,5,1)=lessthanequal(mult(1,5),8)=0,最小,所以1是输出。
div(8,5)=8\/\/5=1没错,十分完美。
如果我们想计算一下8\/\/0:
f(8,0,0)=lessthanequal(mult(1,0),8)=1不等于0,所以0不是输出。
f(8,0,1)=lessthanequal(mult(2,0),8)=1不等于0,所以0不是输出。
无论我们给f(8,0,x)传入什么x,都找不到最小的x,所以div(8,0)=8\/\/0无解,符合现实。
如果把最小化操作运用在原始递归函数上,得到的新函数就叫做偏递归函数。
好了,现在加减乘除我们都有了,只要是可计算的算法,我们都能执行。
至于无限循环怎么制造出来,从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来,如果最小化操作找不到最小值,就永远不会给出输出,这相当于while语句的功能。
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